Méthode d'Archimède

Énoncé

Dans ses travaux, Archimède de Syracuse propose une méthode d'approximation du nombre \(\pi\) . Il considère les suites de polygones réguliers inscrits et circonscrits dans un cercle de rayon  \(1\) et il en calcule les demi-périmètres. Pour un nombre de côtés fixés \(n\) , il encadre ainsi le nombre  \(\pi\) : 
demi-périmètre du polygone inscrit \(<\pi<\) demi-périmètre du polygone circonscrit.

 Archimède traite exclusivement les cas des polygones réguliers à  \(n=3 \times 2^m\) côtés,  \(m\) étant un entier naturel. Pour  \(m=5\) (c'est-à-dire en considérant les polygones réguliers à 96 côtés), on obtient le célèbre encadrement  \(\dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}{7 }\) . 
Dans cette activité, nous allons tenter de retrouver cet encadrement à l'aide de la trigonométrie (qu'Archimède ne connaissait pas !).

Questions

Partie A - Observation de la méthode

Ce fichier de géométrie dynamique montre la suite des polygones réguliers inscrits dans un cercle de rayon \(1\) et affiche le demi-périmètre pour chaque polygone. En faisant bouger le curseur \(n\) correspondant au nombre de côtés du polygone régulier inscrit, observer la suite des demi-périmètre.

Expliquer pourquoi les demi-périmètres s'approchent de plus en plus du nombre \(\pi\) . Qu'en serait-il si le rayon était égal à \(2\) ? Et pour un rayon \(r\) ?

Partie B - Le cas des hexagones

Soit \(\text{ABCDEF}\) et \(\text{A'B'C'D'E'F'}\) les hexagones respectivement inscrit et circonscrit à un cercle de centre  \(\text O\) et de rayon \(1\) de sorte que les points \(\text{O, A, A'}\) sont alignés (et par conséquent tous les autres triplets correspondants aussi) comme illustré dans la figure suivante. La perpendiculaire à \((\text{AB})\) passant par \(\text O\) coupe \(\text {[AB]}\) en \(\text I\) et   \(\text {[A'B']}\) en \(\text I'\) .

Partie C - Cas général

Soit  \(n\) , avec \(n\geqslant 3\) , le nombre de côtés des polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle de centre \(\text O\) et rayon \(1.\) De manière analogue au cas des hexagones, on considère les triangles isocèles \(\text{AOB}\) et   \(\text{A'OB'}\) .
1. Expliquer pourquoi la mesure en degrés de l'angle \(\widehat{\text{IOA}}\) s'exprime, en fonction de  \(n\) , par \(\alpha(n)=\dfrac{180°}{n}\) .
2. En déduire \(\text{AB}=2 \text{sin} (\alpha(n))\) puis \(\text{A'B'}=2 \dfrac{\text{sin}(\alpha(n))}{{\text{cos}(\alpha(n))}}\) .
3. À l'aide d'un tableur, retrouver l'encadrement d'Archimède du nombre  \(\pi\) . Les fractions pourront être approchées par des nombres décimaux.